JUNIO

Miércoles, 01 de Junio del 2016.

Realización de la prueba bimestral.

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Lunes, 06 de Junio del 2016.

EXPERIMENTO ESTADÍSTICO

Procedimiento que se realiza con el propósito de obtener observaciones para algún estudio de interés. Requiere realizar pruebas o ensayos para obtener resultados.

Un Experimento Estadístico tiene las siguientes características:

1. Se conocen todos los resultados posibles antes de realizar el experimento.

2. No se puede predecir el resultado de cada ensayo realizado (propiedad de aleatoriedad)

3. Debe poderse reproducir o repetir el experimento en condiciones similares.

4. Se puede establecer un patrón predecible a lo largo de muchas ejecuciones del experimento.

Esta propiedad se denomina regularidad estadística.

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Miércoles, 08 de Junio del 2016.

ESPACIO MUESTRAL (S)

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Cada elemento de S se denomina Punto Muestral. Según la naturaleza del experimento, los puntos muestrales pueden determinar que S sea discreto o continuo.

Discreto.- si sus elementos pueden ponerse en correspondencia con los números naturales. En este caso S puede se finito o infinito.

Continuo.- si los resultados corresponden a algún intervalo de los números reales. En este caso S es infinito por definición.

EVENTOS

Es algún subconjunto del Espacio Muestral S. Se pueden usar letras mayúsculas para denotar eventos: A, B, . . . También se pueden usar índices E1, E2, . . .etc. Pueden ser:

• Evento nulo: No contiene resultados (puntos muestrales)
• Evento simple: Contiene un solo resultado (punto muestral)
• Eventos excluyentes: Eventos que no contienen resultados comunes

σ-ALGEBRA (sigma álgebra).

El soporte matemático natural para el estudio de las propiedades de los eventos es la Teoría de Conjuntos. Pero existe un álgebra formal específica para su estudio denominada σ-Algebra.

σ-Algebra A es una colección no vacía de subconjuntos de S tales que:

1) S ∈ A

2) Si A ∈ A, entonces A^C ∈ A

3) Si A1, A2, ... ∈ A, entonces:

En resumen una σ-Algebra  incluye a S, a sus subconjuntos y es cerrada con respecto a la operación de unión de conjuntos.

PROBABILIDAD DE EVENTOS

El valor de la probabilidad de un evento es una medida de la certeza de su realización.

Sea A un evento, entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice.

P(A)=0 es la certeza de que no se realizará.

P(A)=1 es la certeza de que si se realizará.

P(A)=0.5 indica igual posibilidad de que se realice o no se realice.

Asignación de valores de probabilidad a eventos

1) Empírica.- Es la proporción de veces que un evento tuvo el resultado esperado respecto al total de

intentos realizados.

2) Mediante modelos matemáticos.- Para muchas situaciones de interés puede construirse modelos matemáticos con los cuales se puede determinar la probabilidad de eventos, tanto para variables discretas como continuas.

3) Asignación clásica.-Su origen es la Teoría de Juegos. El valor de probabilidad de un evento es la relación entre la cantidad de resultados que se consideran favorables para el evento de interés, respecto al total de resultados posibles (Espacio Muestral).

Definición: 

Sean:S: Espacio muestral

A: Evento de interés .

Si N(S) y N(A) representan la cardinalidad (número de elementos)

Entonces la probabilidad del evento A es: P(A)=N(A) /N(S) 

Probabilidad de Eventos Simples

Un Evento Simple incluye un solo punto muestral. Un evento cualquiera A de S puede considerarse entonces como la unión de sus eventos simples.

Sean S: Espacio muestral, con n puntos muestrales

Entonces, Si cada evento simple tiene igual probabilidad, entonces

A: Evento cualquiera de S con k puntos muestrales

E1, E2, . . ., Ek: Eventos simples incluidos en A

P(A) = P(E1 ∪ E2 ∪ . . . ∪ Ek) = P(E1) + P(E2) + . . . + P(Ek)

P(A) = k (1/n)

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Miércoles, 08 de Junio del 2016.

AXIOMAS DE PROBABILIDAD DE EVENTOS

En esta sección se introduce la formalidad matemática necesaria para fundamentar la Teoría de la Probabilidad de Eventos.

Sea S: Espacio muestral

E: Evento de S

P(E): Probabilidad del evento E

R: Conjunto de los reales

P una función que asocia a cada evento E de S un número real

Función de Probabilidad de un Evento

P: S→ R

E → P(E), dominio P = S, rango P = [0, 1]

P se denomina Función de Probabilidad de un Evento y cumple los siguientes axiomas:

1) P(E) ≥ 0

 ''indica que la probabilidad de un evento no puede tener valores negativos''.

2) P(S) = 1 

''establece que la probabilidad de que un resultado pertenezca al espacio,muestral es 1, lo cual es evidente pues S contiene todos los resultados posibles''

3) E1, E2 ∈ S ∧ E1 ∩ E2 = ∅ ⇒ P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)

 ''establece que si dos eventos son mutuamente excluyentes entonces la probabilidad del evento que resulta de la unión de estos eventos, es la suma de las probabilidades de ambos eventos''

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD DE EVENTOS

Con los axiomas establecidos se pueden demostrar algunas propiedades de interés, para los eventos de un espacio muestral S.

Axiomas de probabilidad

a) Probabilidad de un Evento Nulo: 

P(∅) = 0

b) Probabilidad del Evento Complemento: 

c) Probabilidad de Eventos Incluidos: 

Si A ⊂ B, entonces P(A) ≤ P(B)

d) La probabilidad de un Evento está entre 0 y 1: 

0 ≤ P(E) ≤ 1

e) Probabilidad de la Diferencia de Eventos:

f) Regla Aditiva de Probabilidad de Eventos:

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Lunes, 13 de Junio del 2016.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

La probabilidad de un evento puede depender o estar condicionada otro evento. 

EJEMPLO 1 :

Un experimento consiste en lanzar una vez un dado y una moneda. 

a) Calcule la probabilidad de obtener como resultados el número 5 y sello.

Sean c, s los valores cara y sello de la moneda, entonces el espacio muestral S es:

S = {(1,c),(2,c),(3,c),(4,c),(5,c),(6,c),(1,s),(2,s),(3,s),(4,s),(5,s),(6,s)}

Sea el evento de interés,

A: obtener como resultados el número 5 y sello

A = {(5, s)}

El evento A contiene un punto muestral. Entonces la probabilidad del evento A es 1 entre 12:

P(A) = 1/12 ≅ 0.0833

b) Suponga ahora que luego de lanzar el dado y la moneda, nos informan que el número del dado fue impar. ¿Cual es la probabilidad del evento A dado el evento indicado?.

Sea B este evento conocido: B = {(1,c),(3,c),(5,c),(1,s),(3,s),(5,s)}

Entonces, la probabilidad del evento A dado el evento B, es 1 entre 6:

P(A) dado B = 1/6 ≅ 0.1667

En la siguiente tabla se ha escrito simbólicamente el número de elementos de cada evento, siendo N el total de elementos del espacio muestral.

P(A | B) es una función de probabilidad y cumple los axiomas anteriormente escritos.

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Miércoles, 15 de Junio del 2016.

PROBABILIDAD TOTAL

Existen situaciones en las cuales varios eventos intervienen en la realización de algún otro evento del mismo espacio muestral.

Sean B1, B2, ... ,BK eventos mutuamente excluyentes en S y que constituyen una partición de S, es decir, cumplen las siguientes propiedades:

a) ∀i,j (Bi∩Bj = ∅,  i ≠ j) (Los eventos son mutuamente excluyentes)

b) B1∪B2∪ ... ∪BK = S (La unión de todos estos eventos es S)

Sea A un evento cualquiera de S La realización de A depende de los eventos B1, B2, ... ,BK

Fórmula de la Probabilidad Total

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Lunes, 20 de Junio del 2016.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

En el material estudiado anteriormente aprendimos a calcular la probabilidad de eventos de un espacio muestral S. En esta unidad estudiaremos reglas para establecer correspondencias de los elementos de S con los números reales, para luego asignarles un valor de probabilidad.

Las Variables Aleatorias establecen correspondencia del espacio muestral S al conjunto de los números reales. Esta correspondencia es funcional y se la puede definir formalmente.

DEFINICION:

EJEMPLO:

En un experimento se lanzan tres monedas y se observa el resultado (c: cara o s: sello). El conjunto de posibles resultados (espacio muestral) para este experimento, es el siguiente:

S = {( c, c, c),( c, c, s),( c, s, c),( s, c, c),( c, s, s),( s, c, s),( s, s, c),( s, s, s)}

a) Describa con una variable, el número de sellos que se obtienen.

Los posibles resultados se los puede representar con una variable. Si X es ésta variable, entonces se dice que X es una variable aleatoria:

X: Variable aleatoria (número de sellos que se obtienen)

Al realizar el experimento, se obtendrá cualquier elemento del espacio muestral S. Por lo tanto, la variable aleatoria X puede tomar alguno de los números: x = 0, 1, 2, 3.

b) Tabule la correspondencia que establece la variable aleatoria X.

dom X = S, rg X = {0, 1, 2, 3}

Las variables aleatorias pueden representarse con las letras mayúsculas X, Y, ... Para un mismo espacio muestral S pueden definirse muchas variables aleatorias.

Para el ejemplo de las 3 monedas, algunas otras variables aleatorias sobre S pueden ser:

Y: Diferencia entre el número de caras y sellos

Z: El número de caras al cubo, mas el doble del número de sellos, etc.

Para cada variable aleatoria el rango es un subconjunto de los reales. Según el tipo de correspondencia establecida, las variables aleatorias pueden ser:

•  Discretas 
•  Continuas.

En el ejemplo de las monedas, X es una variable aleatoria discreta pues su rango es un subconjunto de los enteros. Además es finita.

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Miércoles, 22 de Junio del 2016.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.

Cada valor de una variable aleatoria discreta puede asociarse a un valor de probabilidad.

DEFINICION:

Sea X: Variable aleatoria discreta

Entonces, P(X=x) representa la probabilidad que la variable X tome el valor x.

La correspondencia que define P(X=x) es una función y se denomina Distribución de Probabilidad de la variable aleatoria X. Esta correspondencia puede definirse formalmente y ser designada con la notación f.

Sean X: Variable aleatoria discreta
f(x) = P(X=x): Probabilidad que X tome el valor x. Entonces, la correspondencia f: X → R,

x → f(x) = P(X=x), dom f = X, rg f ⊂ [0, 1]

f es una función de probabilidad, por lo tanto su rango está en el intervalo [0, 1].


Propiedades

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.

El Valor Esperado o Media es una medida estadística que describe la tendencia central de una variable aleatoria. Representa el valor promedio que tomaría la variable aleatoria si el experimento se realizara un gran número de veces en condiciones similares.

DEFINICIÓN:

Propiedades

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Lunes, 27 de Junio del 2016.

VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Es una medida estadística que cuantifica el nivel de dispersión o variabilidad de los valores la variable aleatoria alrededor de la media.

DEFINICIÓN:

Sea X: Variable aleatoria discreta

f(x): Distribución de probabilidad

μ, o E(X): Media o Valor Esperado de la variable aleatoria X

Entonces:

,Varianza de la variable aleatoria X.

• Formula para calcular la  varianza.

• Propiedades

a, b ∈ R: Números reales cualesquiera.

• Corolarios

El segundo corolario muestra que si el resultado de un experimento es un valor constante entonces la varianza (o variabilidad), es nula.

UNICIDAD DE FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

DEFINICIÓN:

X, Y Variables aleatorias discretas.

f(x), f(y) Distribuciones de Probabilidad de X, Y respectivamente.

Mx(t), My(t) Funciones Generadoras de Momentos de X, Y respectivamente.

Si Mx(t) = My(t) entonces f(x) = f(y)

Si dos variables aleatorias tienen funciones generadoras de momentos idénticas, entonces tienen idénticas funciones de distribución de probabilidad. 

TEOREMA DE CHEBYSHEV

Este teorema establece un valor mínimo para la probabilidad de una variable aleatoria en un intervalo alrededor de la media, independientemente de su función de probabilidad. 

El valor que se obtiene es únicamente una referencia.

DEFINICIÓN:

Sea X una variable aleatoria discreta con media μ y varianza σ2

X tome un valor dentro de k desviaciones estándar σ^2 de su media μ, es al menos 1 – 1/k^2

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Miércoles, 29 de Junio del 2016.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

Se estudiaran los modelos matemáticos para calcular la probabilidad en algunos problemas típicos en los que intervienen variables aleatorias discretas. El objetivo es obtener una fórmula matemática f(x) para determinar los valores de probabilidad de la variable aleatoria X.

DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME

Una variable aleatoria tiene distribución discreta uniforme si cada uno de los resultados de su espacio muestral tiene puede obtenerse con igual probabilidad.

DEFINICIÓN:

Sean X: Variable aleatoria discreta

x = x1, x2, x3, ..., xn Son los n valores que puede tomar X con igual probabilidad

Entonces la distribución de probabilidad de X es: