JULIO

Lunes, 4 de julio de 2016

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (EJERCICIOS)

Miercoles, 13 de julio de 2016

EJERCICIOS

El tiempo que tardan en atender a una persona en una cafeteria es una variable aleatoria continua con densidad de probabilidad

f(x) = { 0.25 e^ (-0.25x)

             0   otro intervalo

a) Grafique f(x)

b) Calcule F(x)

c) calcule E(x); V(x)

d) si y=2x+1, calcule E(x)

resolución:

x: tiempo que tardan en atender a una persona en una cafeteria

TEOREMA DE CHEBYSHEV 

Este teorema establece un valor mínimo para la probabilidad de una variable aleatoria en un intervalo alrededor de la media, independientemente de su función de probabilidad. El valor que se obtiene es únicamente una referencia.

EJEMPLO:

DISTRIBUCIÓN DISCRETA UNIFORME 

Una variable aleatoria tiene distribución discreta uniforme si cada uno de los resultados de su espacio muestral tiene puede obtenerse con igual probabilidad.

EJEMPLO 1 

EJEMPLO 2

Un reloj de manecillas se detuvieron en un punto que no sabemos. Determine la probabilidad de que se haya detenido en los primeros 25 minutos, luego de señalar la hora en punto.

[a,b] = [0,60]

                                                           

P(σ< x < 25) = ∫ 1 dx /60 = 1/60 [x]|0      = 5/12

f (x) = 1/( b-a) = 1/ 60-0 = 1/60

EJEMPLO 3

Cuando falla cierto componente de una maquina, este debe detenerse hasta que sea reparada. Suponiendo que el tiempo de reparación puede tener cualquier valor entre 1 y 5 horas:

a) Calcule la probabilidad que la duración teme al menos 2 horas.

b) Calcule el valor esperado y la varianza de la duración de la reparación.

[a,b] = [1,5)

P(x >2)= 1-P(1<x<2) = 1- ∫ 1/4 dx = 

f(x) = 1/(5-1)= 1/4

E(x) = a+b/2 = 1+5/2= 4

Var(x) = (b-a)^2/12 = (5-1)^2/12 = 4/3

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

Es un experimento estadístico en el que pueden haber únicamente dos resultados posibles. Es costumbre designarlos como “éxito” y “fracaso” aunque pueden tener otra representación y estar asociados a algún otro significado de interés.

“éxito” ----->  p

“fracaso” -------> q = 1 – p

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Corresponde a experimentos con características similares a un experimento de Bernoulli, pero ahora es de interés la variable aleatoria relacionada con la cantidad de “éxitos” que se obtienen en el experimento.

Ejemplos de problemas con estas características:

1) Determinar la probabilidad de la cantidad de artículos que son defectuosos en una muestra tomada al azar de la producción de una fábrica, suponiendo conocida la probabilidad de que un artículo sea defectuoso

2) Determinar la probabilidad de la cantidad de personas que están a favor de un candidato, en una muestra de personas elegidas al azar de una población grande. Suponiendo conocida la probabilidad de que una persona esté a favor del candidato.

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

μ = E(X) = np                   Media de X

σ^2 = V(X) = np(1-p)      Varianza de X

EJEMPLO

Encuentre la media y la varianza para el ejemplo del control de calidad en la fábrica.

                     μ = np = 20 (0.05) = 1

                     σ^2 = npq = 20(0.05)(0.95) = 0.95

Respuesta: μ representa la cantidad promedio de artículos defectuosos que se obtienen cada día σ^2 es una medida de la variabilidad o dispersión de los valores de X.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Esta distribución se refiere a los experimentos estadísticos que consisten en tomar una muestra sin reemplazo, de un conjunto finito el cual contiene algunos elementos considerados “éxitos” y los restantes son considerados “fracasos”.

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Media:       μ = E[X] = nK/N

Varianza:   σ^2 = V[X] = nK/N (1- K/N )( N-n/N-1) 

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución de Poisson es un modelo que puede usarse para calcular la probabilidad correspondiente al número de “éxitos” que se obtendrían en una región o en intervalo de tiempo especificados, si se conoce el número promedio de “éxitos” que ocurren. Este modelo requiere que se cumplan las siguientes suposiciones:

a) El número de “éxitos” que ocurren en la región o intervalo es independiente de lo que ocurre en otra región o intervalo

b) La probabilidad de que un resultado ocurra en una región o intervalo muy pequeño, es igual para todos los intervalos o regiones de igual tamaño y es proporcional al tamaño de la región o intervalo.

c) La probabilidad de que más de un resultado ocurra en una región o intervalo muy pequeño no es significativa.

Media:       μ = E[X] = λ

Varianza:   V[X] = λ

EJEMPLO

DISTRIBUCIÓN NORMAL

 

Grafico de la distribución normal:

cumple las siguientes caracteristicas

1) Es simetrica alrededor de u

2) Su azintota es el eje horizontal

3) Sus puntos de inflexion estan ubicados en u- σ y u+ σ

*- DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR

Para generalizar y facilitar el calculo de probabilidad con distribución normal, es conveniente definir la distribucion normal estandar que se obtiene haciendo u= 0 y  σ^2= 1 en la función de densidad de la distribucion normal

 NOTA: Para el calculo normal de la probabilidad de esta distribución, se pueden usar  tablas con valores de F(z) para algunos valores de z

Algunas tablas de la distribución normal, no incluyen probabilidad para valores de z negativos, por lo cual se debe utilizar la siguiente relación de acuerdo a la simetría que caracteriza a esta distribución

 

Lunes, 18 de julio de 2016

 .- En esta clase se perfeccionó el uso de la tabla para el calculo de probabilidad con distribución normal mediante un ejercicio

*-- ESTANDARIZACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Si una variable tiene distribución normal, mediantes una sustitución se la puede transformar en otra variable con distribución Normal estandar

 

DEMOSTRACIÓN PARA LA MEDIA Y VARIANZA

 Ejemplo:

La duración de un evento tiene distribución normal con media 10 y varianza 4. Encuentre la probabilidad ue el evento dure:

a) Menos de 9 horas

b) Entre 11 y 12 horas

Resolución: 

a) P(X≤ 9) = P(z≤ (9-10)/2) = P(z≤ -1/2) =0.30= 30.85 %

b) P(1≤x≤12)= P(1/2≤z≤1)= F(1)- F(1/2) =  0.8413-0.6415= 0.1498   R//

La media de los pesos de 500 estudiantes de la EPN es 70 kg  y la desviación típica es 3 kg, suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuantos estudiantes pesan:

a) Entre 60 y 75 kg

b) 64 kg

Resolución:

a) P(60≤ x ≤75) = P( (60-70)/3 ≤ z ≤ (75-70)/3)

                          = P( -3.33 ≤z≤ (75-70)/3)

                           = F(1.67) - [ 1- F(3.33)]   =   0.9521 //

b) P(x=64) = P( (64-70)/3 ) = P(z=-2) = 0.0227

      Px= nf/np =   0.0227=nf/500    nf=  0.0227 * 500 = 11 //

* APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL CON LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR 

Sea  X una variable aleatoria con distribución binomial con :

media: u= n p y varianza: σ^2 = n p q 

ENTONCES:

Según la bibliografia utilizada en el curso, se establece  que la aproximación es aceptable aun con valores pequeños de "n", siempre que p este cerca de 0.5, o simultaneamente:

     

CORRECCIÓN DE YATES: BINOMIAL = NORMAL

P(x=k) = P( k-0.5 < x < k+ 0.5)

P(x≤ k) = P(x≤ k+0.5)

P(x<k) = P( x < k - 0-5)

P(x≥k)= P (x≥ k- 0.5)

P(x>k) = P(x> k + 0.5)

Ejercicio:

El 2% de los tornillos fabricados por una máquina presentan defectos. Si tenemos un lote de 200 tornillos. ¿ Cual es la probabilidad de que haya menos de 50 defectuosos?

RESOLUCIÓN:

p= 0.02

q= 1-p = 0.98

n= 2000

np >5

n(1-p)>5            B(n,p) = 2000, 0.02)

             u= n p = (2000)(0.02) =40

             σ= (npq)^1/2= (2000*0.02*0.98)^1/2 = 6.26

             P(x<50) = P(x<49.5) = P( zσ (x-u)/σ) = P(z≤ (49.5-40)/ 6.26)

                             = P(z≤1.52) = 0.9357 //

Se lanza una moneda "corecta" al aire 400 veces. Calcular la probabilidad de obtener un número de caras comprendido entre 180 y 210

RESOLUCÓN:

n= 400

p= 0.5

q= 0.5

u= np= 400(0.5) = 200

σ = (npq)^1/2 = 10              B(400, 0.5)

                

          P( 150 ≤ X≤210) = P (179.5≤X ≤ 210.5)

                                       = P ( (70.5-200)/10 ≤ z≤ (210.5.200)/ 10) 

                                       = P ( -2.05≤z≤ 1.05)

                                          = P(z≤ 1.05) =0.8531

                                            P( z≥ 2.05) = 1- p(z<2.05) = 1- 0.9798= 0.0202

      P(180 ≤ x ≤ 210) = P( 179.5≤ z≤ 210.5) = 0.8531- 0.0202 = 0.8329 //

Miercoles, 20 de julio de 2016

* DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Es un caso particular de la distribucion gama, y tiene aplicaciones de interés practico. Se obtiene con alfa= 1 en la distribución gama

MEDIA Y VARIANZA PARA LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

EJEMPLO:

Lunes, 25 de julio de 2016

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONJUNTA

CASO DISCRETO BIVARIADO

Propiedades

 

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD MARGINAL

Sean x,y: Variables aleatorias discretas

         f( x,y) Funcion de probabilidad conjunta

Entonces:  

 

 Miercoles, 27 de julio de 2016

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

- Formular proporciones acerca de la población, incluyendo una medida para determinar el riesgo de la afirmación

-.. Inferencia Estadística

-Afirmación que se hace acerca de la población en base a la información contenida a una muestra aleatoria tomada de la población

 

Muestreo estadística.

• Probabilistico.
• No probabilístico.
• Aleatorio simple.
• Con reemplazo.
• Sin reemplazo.
• Simple, doble, multiple.
• Estratificado.
• Conglomerados.
• Sistemático.
• Errático o asistemático.

      

         - Distribucion de muestre de una media muestral

         - media y varianza muestral

         - Sean x1,x2,...,xn, una muestra aleatoria tomada de una poblacion con media u y varianza. entonces

media de x: u= E(x) =U

Varianza de x= sigma ^2/n

Ejemplo:

Un fabricante especifica que la duración de su bateria tiene una distribución normal con media 36 meses (u) y desviacipn estandar 8 meses. Calcule la probabilidad que una muestra aleatoria de 9 baterias tenga una desviación media a menos o igual que 30 meses

RESOLUCIÓN:

 x: duracion de las baterias

u= 36 meses

σ= 8meses 

n=9

P(x≤50)

u=36

Vx=  σ^2x=  σ^2/n = 64/9 = 7.1

z= (x-u)/ σ

si:  σ^2x=   σ^2/n -->  σ/(n)^1/2

        P(x ≤30) = P(z≤ (30-36)/2.67)

                       = P(z≤ -2.25)= 0.01222= 12%

TEOREMA DE LIMITE CENTRAL

-Si x es la media de una muestra aleatoria de tamaño n, extraída de una poblacion que tiene una media u y varianza, entonces:

Es una variable aleatoria cuya función de probabilidad se aproxima a la Distribución Normal Estandar a medida que "n" aumenta

- La variable z es lo que se aaproxima a una distribución normal estandar no la x

- Se aplica para muestras con n≥ 30 (muestras grandes)

EJEMPLO:

Un fabricante especifica que cada paquete de su producto tiene un peso promedio de 22.5 gr con una desviacion estandar de 2.5 gr. Calcule la probabilidad de que una muestra aleatoria de 40 paquetes de este producto tenga un peso promedio menor e igual a 20 gramos.

RESOLUCIÓN;

x: peso de los paquetes (gr)

u= 22.5 gr

σ= 2.5 gr

n=40 TLC

P(x≤20)

                                 σx= σ/n^1/2 ; σx= 2.5/40^1/2

  

                           P(x≤20)= P( z≤ 20-22.5/2.5/raiz de 40)

                                            Evento imposible

                                         

 Lunes, 1 de Agosto de 2016

DISTRIBUCIÓN T

La distribución T o de Student de probabilidad con forma tipo campana simétrica. Su aplicación más importante se describe a continuación suponer que se toma una muestra aleatoria de tamaño n<30 de una poblacion con distribucion normal con media u y varianza desconocida. En este caso ya no se puede usar la variable aleatoria z, en su lugar debe usarse otro estadistico denominado "T" o de Student

Gráfico de la distribución T:

L a forma específica de la distribución T depende del valor de v, el cual es el parámetro para este modelo con la definición v= n-1 y se denomina " grados de libertad